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01背包|动态规划
题目描述有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi。...
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2019/10

01背包|动态规划

题目描述

有 N 件物品和一个容量是 V 的背包。每件物品只能使用一次。
第 i 件物品的体积是 vi,价值是 wi。
求解将哪些物品装入背包,可使这些物品的总体积不超过背包容量,且总价值最大。
输出最大价值。

输入格式

第一行两个整数,N,V,用空格隔开,分别表示物品数量和背包容积。
接下来有 N 行,每行两个整数 vi,wi,用空格隔开,分别表示第 i 件物品的体积和价值。

输出格式

输出一个整数,表示最大价值。

数据范围

0<N,V≤1000
0<vi,wi≤1000

输入样例

4 5
1 2
2 4
3 4
4 5

输出样例:

8

解题思路:对于每种物品只有两种转态,选和不选。
如果选:dpi=max(dpi-1,dpi-1]+v[i]);

如果不选:dpi=dpi-1;

代码实现:

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1010;
int w[maxn],v[maxn],dp[maxn][maxn];
int n,m;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=1;j<=m;++j){
            if(j<w[i]){
                dp[i][j]=dp[i-1][j];
            }else{
                dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i-1][j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[n][m]<<endl;
    return 0;
}

空间优化

空间优化,每一次dp(i,j)改变的值只与dp(i-1,j) 有关,f(i-1,j)是前一次i循环保存下来的值;因此,可以将dp缩减成一维数组,从而达到优化空间的目的,状态转移方程转换为 dp[j]= max{dp[j], dp[j-w[i]]+v[i]};并且,状态转移方程,每一次推导dpi是通过dpi-1]来推导的,所以一维数组中j的扫描顺序应该逆序(从大到小),否者前一次循环保存下来的值将会被修改,从而造成错误。

代码如下:

#include<iostream>
using namespace std;
const int maxn=1010;
int w[maxn],v[maxn],dp[maxn];
int n,m;
int main(){
    cin>>n>>m;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        cin>>w[i]>>v[i];
    }
    for(int i=1;i<=n;++i){
        for(int j=m;j>0;--j){
            if(j>=w[i]){
                dp[j]=max(dp[j],dp[j-w[i]]+v[i]);
            }
        }
    }
    cout<<dp[m]<<endl;
    return 0;
}

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Last modification:October 13th, 2019 at 07:02 pm
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